Voronoi 紋理的雷雕應用 — 自然風格鏤空設計

前言

大自然是最好的設計師。如果你仔細觀察長頸鹿的皮膚花紋、乾裂的泥土、蜻蜓的翅脈、龜殼的紋路，你會發現它們有一個共同的數學結構——Voronoi 圖。

Voronoi 圖（又稱 Voronoi diagram 或 Thiessen polygon）是一種根據一組種子點劃分平面的方法。每一個種子點會「佔領」距離它最近的所有空間，形成一個多邊形區域。這種結構在自然界中反覆出現，因為它是許多自然過程（如細胞生長、結晶、乾裂）的最優解。

把 Voronoi 紋理用在雷雕上，你可以做出極具自然感的鏤空設計——燈罩、裝飾品、手機殼背板、書擋⋯⋯可能性無窮。這篇文章會帶你從 Voronoi 的數學原理走到雷雕實作。

Voronoi 圖的數學基礎

定義

給定平面上的一組點集 P = {p1, p2, …, pn}，每個點 pi 的 Voronoi 區域定義為：

V(pi) = { x ∈ R² | d(x, pi) ≤ d(x, pj), ∀j ≠ i }

白話來說，就是平面上離 pi 最近的所有點的集合。這些區域的邊界就是 Voronoi 圖的邊（edge），邊的交點稱為 Voronoi 頂點。

Voronoi 與 Delaunay 的對偶關係

Voronoi 圖有一個「雙胞胎」——Delaunay 三角剖分。它們互為對偶：

Voronoi 的邊垂直平分 Delaunay 的邊
Voronoi 的頂點是 Delaunay 三角形的外接圓圓心
Delaunay 的頂點就是 Voronoi 的種子點

這個對偶關係在實作中很有用：很多程式庫是先算 Delaunay 三角剖分，再從中推導 Voronoi 圖。

種子點分佈的影響

Voronoi 圖的「長相」完全取決於種子點的分佈：

完全隨機分佈：區域大小不均，有些很大有些很小，看起來最「自然」
均勻抖動（jittered grid）：在格子點的基礎上加入隨機擾動，區域大小較均勻
泊松盤取樣（Poisson disk sampling）：保證任意兩點之間有最小距離，效果最好

對於雷雕應用，泊松盤取樣通常是最佳選擇——它兼顧了隨機感和結構穩定性。

生成 Voronoi 紋理

使用 Python + scipy

import numpy as np
from scipy.spatial import Voronoi
import svgwrite

def generate_voronoi_svg(filename, width=100, height=100,
                          num_points=50, margin=10, seed=42):
    """生成 Voronoi 紋理的 SVG 檔案"""
    np.random.seed(seed)

# 生成種子點（在邊界外也撒點，避免邊緣區域太大）
    points_inner = np.random.rand(num_points, 2) * [width, height]

# 鏡像點（處理邊界）
    points_mirror = []
    for p in points_inner:
        points_mirror.append([-p[0], p[1]])
        points_mirror.append([2*width - p[0], p[1]])
        points_mirror.append([p[0], -p[1]])
        points_mirror.append([p[0], 2*height - p[1]])

all_points = np.vstack([points_inner, points_mirror])

# 計算 Voronoi 圖
    vor = Voronoi(all_points)

# 建立 SVG
    dwg = svgwrite.Drawing(filename,
                           size=(f'{width}mm', f'{height}mm'),
                           viewBox=f'0 0 {width} {height}')

# 繪製 Voronoi 邊
    for ridge_vertices in vor.ridge_vertices:
        if -1 in ridge_vertices:
            continue  # 跳過無限邊

v0 = vor.vertices[ridge_vertices[0]]
        v1 = vor.vertices[ridge_vertices[1]]

# 只繪製在畫布內的邊
        if (0 <= v0[0] <= width and 0 <= v0[1] <= height and
            0 <= v1[0] <= width and 0 <= v1[1] <= height):
            dwg.add(dwg.line(
                (v0[0], v0[1]), (v1[0], v1[1]),
                stroke='black', stroke_width=0.2
            ))

# 外框（切割線）
    dwg.add(dwg.rect((0, 0), (width, height),
                      fill='none', stroke='red', stroke_width=0.2))

dwg.save()
    print(f"Voronoi SVG saved to {filename}")

generate_voronoi_svg('voronoi_pattern.svg', num_points=80)

使用 p5.js 互動式設計

如果你想更直覺地調整 Voronoi 圖案，p5.js 搭配 d3-delaunay 是個好選擇：

// 需要引入 d3-delaunay 函式庫
// <script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/d3-delaunay@6"></script>

let points = [];
let voronoi;

function setup() {
  createCanvas(800, 600);

// 泊松盤取樣生成種子點
  points = poissonDiskSampling(800, 600, 30, 30);

updateVoronoi();
}

function draw() {
  background(30);

// 繪製 Voronoi 邊
  stroke(200);
  strokeWeight(1);
  noFill();

const delaunay = d3.Delaunay.from(points);
  const v = delaunay.voronoi([0, 0, width, height]);

for (let i = 0; i < points.length; i++) {
    const cell = v.cellPolygon(i);
    if (cell) {
      beginShape();
      for (const [x, y] of cell) {
        vertex(x, y);
      }
      endShape(CLOSE);
    }
  }
}

function poissonDiskSampling(w, h, radius, k) {
  // 簡化版泊松盤取樣
  let samples = [];
  let active = [];

// 第一個點
  let first = [random(w), random(h)];
  samples.push(first);
  active.push(first);

while (active.length > 0) {
    let idx = floor(random(active.length));
    let point = active[idx];
    let found = false;

for (let n = 0; n < k; n++) {
      let angle = random(TWO_PI);
      let r = random(radius, 2 * radius);
      let candidate = [
        point[0] + r * cos(angle),
        point[1] + r * sin(angle)
      ];

if (candidate[0] < 0 || candidate[0] >= w ||
          candidate[1] < 0 || candidate[1] >= h) continue;

let tooClose = false;
      for (let s of samples) {
        if (dist(candidate[0], candidate[1], s[0], s[1]) < radius) {
          tooClose = true;
          break;
        }
      }

if (!tooClose) {
        samples.push(candidate);
        active.push(candidate);
        found = true;
        break;
      }
    }

if (!found) {
      active.splice(idx, 1);
    }
  }

return samples;
}

鏤空設計的關鍵考量

鏤空強度

把 Voronoi 的每個區域都鏤空，結構就垮了。你需要保留 Voronoi 的邊作為「骨架」，並且確保骨架夠寬。

邊寬計算原則：

最小邊寬 ≥ 材料厚度 × 0.5（壓克力）
最小邊寬 ≥ 材料厚度 × 0.8（木材）
最小邊寬 ≥ 2mm（一般經驗值）

在 SVG 中，Voronoi 邊是零寬度的線。要轉換成有寬度的骨架，需要對每個 Voronoi 區域做內縮（inset/offset）：

from shapely.geometry import Polygon
from shapely.ops import unary_union

def create_voronoi_skeleton(vor, inset_distance=1.0):
    """將 Voronoi 區域內縮，產生鏤空骨架"""
    shrunk_regions = []

for region_idx in vor.point_region:
        region = vor.regions[region_idx]
        if -1 in region or len(region) == 0:
            continue

vertices = [vor.vertices[i] for i in region]
        poly = Polygon(vertices)

if poly.is_valid:
            shrunk = poly.buffer(-inset_distance)
            if not shrunk.is_empty:
                shrunk_regions.append(shrunk)

# 鏤空區域 = 內縮後的多邊形
    # 骨架 = 外框 - 鏤空區域
    return shrunk_regions

結構穩定性分析

鏤空比例太高會讓作品脆弱。一些經驗法則：

鏤空率 < 60%：結構穩固，適合功能性零件
鏤空率 60-75%：需要小心處理，適合裝飾品
鏤空率 > 75%：很脆弱，只適合框架保護良好的場景

你可以用 Voronoi 種子點的密度來控制鏤空率。種子點越多，每個區域越小，骨架越密，結構越強。

邊緣處理

Voronoi 鏤空設計需要特別注意邊緣。如果鏤空區域碰到外輪廓邊緣，那個位置就會特別脆弱。解決方法：

加寬邊框：在外輪廓內留一圈 3-5mm 的實心邊框
種子點避開邊緣：讓邊緣的 Voronoi 區域較小（不鏤空或只淺雕）
圓角處理：鏤空區域的尖角加上圓角，減少應力集中

實作範例

Voronoi 燈罩

這是 Voronoi 鏤空最經典的應用。步驟：

設計燈罩的展開圖（圓柱展開為矩形）
在矩形區域內生成 Voronoi 圖案
每個 Voronoi 區域內縮 1.5mm 作為鏤空
加上頂部和底部的固定邊框
加上接合用的齒槽（tab and slot）
雷切 3mm 樺木合板
彎曲成圓柱形（木材需要先泡水或用蒸氣軟化）

Voronoi 手機殼背板

較小的作品，適合練手：

def phone_case_voronoi(filename, w=75, h=150):
    """手機殼大小的 Voronoi 鏤空設計"""
    np.random.seed(123)

# 泊松盤取樣，最小距離 8mm
    points = poisson_disk_sampling(w, h, min_dist=8)

# ... 生成 Voronoi 並內縮 ...

# 加入相機孔（圓形區域不鏤空）
    camera_hole_center = (w  0.5, h  0.15)
    camera_hole_radius = 8

# 過濾掉相機孔範圍內的鏤空區域
    filtered_regions = [r for r in shrunk_regions
                        if not r.intersects(camera_circle)]

Voronoi 書擋

用 5mm 壓克力切割，Voronoi 鏤空加上 L 型底座：

正面板：Voronoi 鏤空設計
底座：L 型，用箱指接合連接正面板
建議鏤空率控制在 50% 以下，因為書擋需要承受書本的重量

進階技巧

加權 Voronoi

普通 Voronoi 中每個種子點的「影響力」相同。加權 Voronoi（weighted Voronoi 或 power diagram）允許每個點有不同的權重，產生大小更有變化的區域。

# 加權 Voronoi 的距離函數
# d_weighted(x, pi) = d(x, pi)² - wi
# 其中 wi 是點 pi 的權重

# 權重越大的點，佔領的區域越大

密度漸變

讓 Voronoi 的密度在空間中漸變，可以產生從密到疏（或反過來）的漸層效果：

def density_gradient_points(w, h, num_points, gradient_func):
    """根據密度梯度函數生成種子點"""
    points = []
    while len(points) < num_points:
        x, y = np.random.rand()  w, np.random.rand()  h
        density = gradient_func(x, y, w, h)
        if np.random.rand() < density:
            points.append([x, y])
    return np.array(points)

# 從左到右密度遞減
gradient = lambda x, y, w, h: 1.0 - 0.8 * (x / w)

points = density_gradient_points(100, 100, 200, gradient)

這種漸變效果在裝飾設計中非常吸引人——視覺上有「消散」或「聚集」的動態感。

小結

Voronoi 紋理之所以在設計中如此受歡迎，是因為它完美地平衡了秩序與隨機。它有數學上的規律性（每條邊都是兩點的中垂線），又因為種子點的隨機分佈而呈現自然的不規則感。

如果你是第一次嘗試 Voronoi 雷雕，建議從杯墊這種小尺寸的作品開始。用 3mm 合板，50 個左右的種子點，內縮 1.5mm，就能得到一個漂亮又有強度的鏤空杯墊。

前言